TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Cuando trabajamos con datos estadísticos debemos ordenarlos en sentido creciente, contabilizarlos y organizarlos. Para ello lo más práctico es usar una tabla de distribución de frecuencias:
CONSTRUCCIÓN DE TABLAS
1. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS:
Sea: “x” el número de hermanos
3 3 4 2 3 2 0 2 4 1
3 2 1 1 5 3 3 2 4 4
2 1 5 3 2 0 2 3 5 0
TABLA N° 01
CLASIFICACION DE ALUMNOS DE LA I.E. “SAN JOSE” DE SAN JOSE 2010, SEGÚN EL NÚMERO DE HERMANOS
x
|
CONTEO DE DATOS
|
fi
|
Fi
|
hi =
|
hi x 100
|
Hi =
|
Hi x100
| |
0
|
///
|
3
|
f1
|
3
|
0,1000
|
10,0
|
0,1000
|
10,00
|
1
|
////
|
4
|
f2
|
7
|
0,1333
|
13,3
|
0,2333
|
23,33
|
2
|
///// ///
|
8
|
f3
|
15
|
0,2667
|
26,7
|
0,5000
|
50,00
|
3
|
///// ///
|
8
|
f4
|
23
|
0,2667
|
26,7
|
0,7667
|
76,67
|
4
|
////
|
4
|
f5
|
27
|
0,1333
|
13,3
|
0,9000
|
90,00
|
5
|
///
|
3
|
f6
|
30
|
0,1000
|
10,0
|
1,0000
|
100,00
|
TOTAL
|
n =30
|
1,0000
|
100,0
|
FUENTE: Entrevista obtenida en clase.
“x” : es la variable, número de hermanos.
De acuerdo a la tabla N° 01: Son los datos:
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3; x5 = 4; x6 = 5
CONTEO DE DATOS O TABULACION: son las marcas de los datos.
¿SABÍAS QUÉ?
Los elementos de una tabla son:
· Título.
· La variable estadística que la forma. (x)
· Las frecuencias absolutas y relativas.
· El cuerpo de la tabla, donde van los valores calculados.
· La fuente de donde proceden los datos.
CLASES DE FRECUENCIAS
a) FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE: (fi)
Es el número de veces que se repite dicho valor en un conjunto de datos.
f1 + f2 + f3 + … + fi = n
Ej.: 3 + 4 + 8 + 8 + 4 + 3 = 30 = n
De acuerdo a la tabla N° 01:
f1 = 3; f2 = 4; f3 = 8; f4 = 8; f5 = 4; f6 = 3
Interpretación:
f3 : 8 alumnos han declarado tener 2 hermanos.
f5 : 4 alumnos han declarado tener 4 hermanos.
b) FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA: (Fi)
Es la que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas simples.
F1 = f1
F2 = f1 + f2
F3 = f1 + f2 + f3 óóóoooo ó F3 = F2 + f3
Fi = f1 + f2 + … + fi
Ej.: F2 = 3 + 4 = 7 F4 = 15 + 8 = 23
De acuerdo a la tabla N° 01:
F1 = 3; F2 = 7; F3 = 15; F4 = 23 F;; F5 = 27; F6 = 30
Interpretación:
F2 : Que 7 alumnos han declarado tener entre o y 1 hermanos.
F4 : Que 23 alumnos han declarado tener entre 0 y 3 hermanos
c) FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE: (hi)
Es el cociente que resulta de dividir la frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra (n)
hi = fi / n
h1 + h2 + h3 + … + hi = 1
Ej.:
H3 = f3/n = 8/30 = 4/15 = 0,2667 y y h3 x 100 = 0, 2667 x 100 = 26,67 %
De acuerdo a la tabla N° 01:
h1 = 0,1000; h1 x 100 = 10 %
h2 = 0,1333; h2 x 100 = 13,33 %
h3 = 0,2667; h3 x 100 = 26,67 %
h4 = 0,2667; h4 x 100 = 26,67 %
h5 = 0,1333; h5 x 100 = 13,33 %
h6 = 0,1000; h6 x 100 = 10 %
Interpretación:
h3 : El 0,2667 tanto por uno de 30 alumnos, han declarado tener 2 hermanos.
o también: h3 : 4 de cada 15 alumnos tienen 2 hermanos
h3 x 100: El 26,67% de 30 alumnos han declarado tener 2 hermanos
d) FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: (Hi)
Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples.
H1 = h1
H2 = h1 + h2
H3 = h1 + h2 + h3 sss ó H3 = H2 + h3
Hi = F1 /n
Hi = h1 + h2 + h3 + … + hi = 1
IMPORTANTE: La frecuencia relativa también se pueden expresar en forma porcentual: Hi = hi x 100
Ej.: H3 = 1, 000 + 0,1333 + 0,2667 = 0,5000 y H3 x 100 = 50,00%
De acuerdo a la tabla N° 01:
H1 = 0,1000; H1 x 100 = 10 %
H2 = 0,2333; H2 x 100 = 23,33 %
H3 = 0,5000; H3 x 100 = 50,00 %
H4 = 0,7667; H4 x 100 = 76,67 %
H5 = 0,9000; H5 x 100 = 90 %
H6 = 1,0000; H6 x 100 = 100 %
Interpretación:
H3 : El 0,5 tanto por uno de 30 alumnos han declarado tener entre 0 y 2 hermanos.
H3 x 100 : El 50 % de alumnos han declarado tener entre 0 y 2 hermanos.
ENTRENAMIENTO: ahora te toca a tí
11AA1. Al preguntar por su edad a un grupo de alumnos de la I.E. “San José” se obtuvieron los siguientes resultados: 11; 10; 12; 14; 13; 12; 11; 15; 13; 12; 14; 13; 11; 10; 15 años.
Elabora una tabla de distribución de frecuencias absoluta y relativa, luego responde:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 12 años?
b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de 15 años?
c) ¿Cuántos alumnos tienen menos de 11 años?
d) ¿Cuántos alumnos tienen entre 10 y 13 años?
2. En la siguiente encuesta se da a conocer las calificaciones de 35 alumnos de primer año en el área de matemática, de la I.E. “San José”: 12; 14; 20; 15; 10; 11; 15; 18; 13; 19; 11; 20; 09; 16; 15; 12; 14; 16; 10; 18; 12; 13; 12; 14; 11; 14; 12; 11; 14; 16; 18; 10; 17; 17; 14.
Elabora una tabla de distribución de frecuencias, luego responde:
a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta relativa del grupo que obtuvo nota 11?
b. ¿Cuántos obtuvieron nota 18?
c. ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota mayor a 16?
d. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron notas menores que 13?
e. ¿Qué porcentaje de alumnos están desaprobados?
3. El número de horas extras trabajadas en un mes por 25 trabajadores de Cemento Pacasmayo SAA, es el siguiente: 21; 22 ; 20; 15; 25; 23; 21; 22; 16; 24; 20; 17; 18; 16; 17; 18; 19; 18; 19; 20; 21; 18; 21; 20; 22.
Construye una tabla de distribución de frecuencias, luego responde:
a) ¿Cuántos empleados trabajaron más de 19 horas extras?
b) ¿Cuántos empleados trabajaron menos de 20 horas extras?
c) ¿Cuánto ganaron en total los que trabajaron 18 horas extras, si se sabe que cada hora extra se paga 27 soles?
4. Los siguientes datos se refieren al número de libros de matemática consultados por los estudiantes de la I.E. “San José” para rendir su examen bimestral.
2 0 4 4 1 4 0 3 2 0 0 1 1 1 0 1 2
0 1 1 5 2 2 5 3 4 0 4 0 0 0 3 0 1
2 1 2 0 3 1 3 1 2 0 5 6 3 2 4 2
Ordena los datos en una tabla de frecuencias agrupados de a 7, luego responde:
a) ¿Qué porcentaje de alumnos consultó entre 5 y 6 libros?
b) ¿Qué porcentaje no consultó ningún libro para el examen?
2. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR FRECUENCIAS DE DATOS AGRUPADOS:
Ej. 1: A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último Examen Bimestral de matemática.
10 15 11 08 12 10 13 10 12 10
12 17 10 12 11 14 15 20 10 12
10 20 14 13 06 16 06 06 14 18
07 05 12 11 02 04 14 18 16 17
A) Se halla el rango o amplitud total (R). Para lo cual se localizan primero los puntajes máximos y mínimos de la muestra. Luego se resta el puntaje mínimo del máximo, obteniéndose de esta manera el rango o amplitud.
Rango = Puntaje máximo ---– Puntaje mínimo
R = 20 – 02
R = 18
B) Después se determina el número de intervalos (m). Consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos, llamados también “intervalos de clase”. Estos intervalos son generalmente del mismo tamaño. Podemos aplicar las siguientes alternativas:
Si “n” es el número de datos, entonces: : m = Öaaa la raíz cuadrada de n
En el ejemplo: n = raíz cuadrada de 40
m = Öraiz raíz cuadrada de n = Öraiz cuadrada d rrraíz cuadrada de 40 = 6,3
Puede considerarse 6 ó 7 intervalos
a. Si “n” es el número de datos, según STURGES:
m = 1 + 3,3 log n
En el ejemplo; n = 40
® m = 1 + 3,3 log 40 = 6,28
Puede considerarse 6 ó 7 intervalos.
Los dos métodos nos dan el posible número de intervalos, la elección es arbitraria. Tomaremos en este caso m = 6 intervalos, por que el rango es R = 18 y nos daría una cantidad exacta.
C) Luego, determinamos el tamaño de los intervalos (C), para lo cual dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (m). También se le denomina amplitud de clase.
C = R ÷ m
C = 18 ÷ 6
C = 3
En el ejemplo: Intervalo: [límite inferior ; límite superior > >
MIN = 02 [límite inferior ] y C = 3
02 + 3 = 05 [límite superior]
1er. Intervalo : [02 ; 05 > >>>>>>>>
2do intervalo : [05 ; 08 > >
Finalmente tendremos que realizar el conteo y completar el cuadro.
Intervalos
|
Conteo
|
fi
|
Fi
|
hi
|
Hi
|
[02; 05 > >
| |||||
[05; 08 > >
| |||||
[08; 11 > >
| |||||
[11; 14 > >
| |||||
[14; 17 >>
| |||||
[17; 20 ]
|
n = 40
Ahora llenaremos nuestra tabla:
Intervalos
|
Conteo
|
fi
|
Fi
|
hi
|
Hi
|
[02; 05 > ><
|
//
|
2
|
2
|
0.050
|
0.050
|
[05; 08 > >>
|
/////
|
5
|
7
|
0.125
|
0.175
|
[08; 11 > >
|
////////
|
8
|
15
|
0.200
|
0.375
|
[11; 14 > >
|
///////////
|
11
|
26
|
0.275
|
0.650
|
[14; 17 > >
|
////////
|
8
|
34
|
0.200
|
0.850
|
[17; 20 ]
|
//////
|
6
|
40
|
0.150
|
1.000
|
Ej. 2: La tabla muestra la distribución del ingreso familiar correspondientes a 80 familias. Determinar el número de familias que ganan de 200 soles a más.
Intérvalo de ingreso S/.
|
fi
|
Fi
|
hi
|
[160-170 >
| |||
[170-180 >
|
48
|
60
| |
[180-190 >
|
0,125
| ||
[190-200 >
|
0,075
| ||
[200-210
|
Intervalo de ingreso S/.
|
fi
|
Fi
|
hi
|
[160 – 170 ›
|
12
| ||
[170 – 180 ›
|
48
|
60
| |
[180 – 190 ›
|
10
|
0,125
| |
[190 – 200 ›
|
6
|
0,075
| |
[200 – 210 ›
|
4
|
a) 14 b) 10 c) 26 d) 4 e) 30
SOLUCION:
i) Calculamos f1: si f2 = 48 y F2 = 60
Como: F2 = f1 + f2 , entonces 60 = f1 + 48, f1 = 12
ii) Calculando f3 : si h3 = 0,125 y n = 80
h3 = f3/n …. 0,125 = f3/80 …. f3 = 10
iii) Calculando f4 : si h4 = 0,075
h4 = f4/n … 0,075 = f4/80 … f4 = 6
iv) Calculando f5 : si n = 80, f1 = 12, f2 = 48, f3 = 10 y f4 = 6
f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = n
12 + 48 + 10 + 6 + f5 = 80
f5 = 4
AHORA TE TOCA A TI!!
Resuelve los siguientes problemas:
1. Un investigador social desea determinar en la ciudad de “Pacasmayo”, el número de horas semanales que dedican los adolescentes menores de 16 años de edad, a usar el Chad. Una muestra de 25 adolescentes, arrojó los siguientes resultados (en número de horas semanales).
10 19 25 19 26
16 19 27 27 25
23 22 17 12 20
15 21 23 26 14
18 25 23 24 21
Ordena la información en una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados de a 6, y luego interpreta: F3, f4, f2, h4, H5.
2. En cierta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores, con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:
22 34 60 33 32 30 47 37
61 38 34 30 47 41 55 67
32 49 46 48 42 42 46 43
53 48 46 26 51 23 55 41
57 44 45 67 31 51 47 52
Elabora una tabla de frecuencias, para resolver los siguientes problemas:
A. ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan?
a) a) 15; 37,5% b) 12; 30% c) 24; 60% d) 20; 50% e) 10; 25%
B. ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen entre 39 y 58 años?
a) a) 37,5% b) 40,25% c) 52,5% d) 57,5% e) 52%
3. Los siguientes datos se refieren al número de libros prestados diariamente por la biblioteca de la I.E. “San José” en los últimos 24 días:
13 21 16 30 42 5
33 26 29 45 17 28
39 32 8 34 27 33
27 26 24 28 16 21
Construir una tabla de distribución de frecuencias usando cuatro intervalos.
a) ¿Qué porcentaje de días se presta más de 25 libros?
b) ¿Qué porcentaje de días se presta entre 5 y 15 libros?
DESAFÍO:
1: El siguiente cuadro muestra los ingresos semanales de un grupo de trabajadores de la empresa “ QALAYWA S.R.L.”
SALARIOS
|
fi
|
Fi
|
hi
|
[ 200-240 >
|
8
| ||
[ 240-280 >
|
0,2
| ||
[ 280-320 >
|
15
| ||
[ 320-360 >
|
0,24
| ||
[ 360-400
| |||
n = 50
|
Luego de completar el cuadro, responde:
A. ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia?
B. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana 320 soles o más?
C. ¿Cuántos trabajadores ganan entre 280 y 400 soles?
D. ¿Cuántas personas ganan menos de 320 soles?
D. ¿Cuántas personas ganan menos de 320 soles?
2. La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en febrero de 2010 por 75 puestos de ESSALUD. Los anchos de clases son iguales a 20.
Número de pacientes
|
xi
|
fi
|
Fi
|
hi
|
Hi
|
( ; )
|
30
|
0,04
| |||
( ; )
|
12
| ||||
( ; )
|
15
| ||||
( ; )
|
21
| ||||
( ; )
|
12
| ||||
( ; )
|
9
| ||||
( ; 160 )
| |||||
TOTAL
|
A. Calcular “H4 + h5”
a) 0,80 b) 0,64 c) 0,16 d) 0,96 e) 0,84
B. ¿Cuántos puestos atendieron de 20 a 60 y cuántos de 60 a 80?
a) 12 y 15 b) 15 y 12 c) 12 y 18 d) 18 y 12 e) 14 y 15
C. ¿Qué porcentaje de los puestos atendieron por lo menos 100 pacientes?
a) 36% b) 40% c) 20% d) 50% e) 64%
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